Quelques techniques de calcul mental assez pratiques

Quelques techniques de calcul mental assez pratiques

Bonjour à tous, je vais vous livrer ici quelques unes des techniques de calcul mental utiles que j'utilise régulièrement : 

1) Trouver le carré d'un nombre finissant par $5$ en moins de 3 secondes :

Combien fait $45^2$ ? Vous pensez probablement que c'est compliqué à calculer mais cela ne l'est absolument pas. Je vous explique la technique : Si on a un nombre du type $n 5$ ( par exemple pour $45$, $n = 4$), le carré de ce nombre est donné par la formule suivante :

$$ n 5^2 = n(n+1) \| 25$$

C'est à dire que l'on multiplie le nombre $n$ par le nombre venant juste après , et on acolle $25$ à côté (c'est la signification du $ \| 25$ dans la formule).

Démonstration : 

$$ 45^2 = 4 (4 + 1) \| 25 = 4 \times 5 \| 25 = 20 \| 25 = 2025 $$

A vos calculatrice pour vérifier que c'est bien le résultat que l'on doit obtenir ! 

2) Utiliser la troisième identité remarquable pour simplifier une multiplication :  $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

L'usage direct de cette formule permet de grandement simplifier une multiplication lorsque l'on remarque un écart commun des nombres que l'on veut multiplier à une certaine valeur.

Si l'on considére $17 \times 23$ par exemple, on remarque que $17 = 20-3$, et que $23 = 20+3$, on peut donc réecrire notre multiplication comme $(20-3)(20+3)$, et on peut alors appliquer tranquillement notre formule : 

$$ 17 \times 23 = (20 - 3)(20 + 3) = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391 $$

Cette formule est très puissante toutefois elle demande la connaissance d'un certain nombre de carrés. Les apprendre jusqu'à $20$ c'est déjà bien par exemple, et ça ne prend pas un temps fou.

Allez, comme on est des foufous, on va combiner cette technique avec la précédente pour trouver le résultat de $65 \times 85$ :

$$65 \times 85 = (75 - 10)(75 + 10) = 75^2 - 10^2 $$

$$ \textrm{et } \quad 75^2 = 7(7 + 1) \| 25 = 7 \times 8 \| 25 = 56 \| 25 = 5625 $$

$$ \textrm{donc } \quad 65 \times 85 = 5625 - 100 = 5525 $$

Pas mal non ?

3) Multiplier deux nombres composés uniquement de 1 entre eux

Contrairement aux deux techniques précédentes, celle-ci n'a aucune utilité dans la plupart des calculs que vous aurez à faire dans votre vie. Toutefois je l'avais découvert quand j'étais en 4ème si mes souvenirs sont bons, du coup j'y suis quelque peu attaché ^^.

- En premier lieu, mettre au carré un nombre constitué uniquement de $1$ : on regarder le nombre de $1$ que l'on va appeler $n$. Pour écrire le résultat, il suffit de partir de $1$ et d'écrire dans le sens croissant les nombres qui vont de $1$ jusqu'à $n$, et une fois $n$ atteint, on écrit les nombres dans le sens décroissant jusqu'à $1$.

exemples : $11111^2 = 123454321$, $111^2 = 12321 $, etc.

- Maintenant on regarde le cas dans lequel on multiplie deux nombres composés d'une quantité de $1$ différente. Dans ce cas on prend le nombre qui possède la plus petite quantité de $1$, et on note cette quantité de $1$ '$m$'. Ensuite on note la quantité de $1$ dans le second nombre que l'on veut multiplier '$n$'. Pour obtenir le résultat, on part de $1$ et on écrit les nombres jusqu'à $m$, puis on répéte $n-m$ ($n$ moins $m$) fois le nombre $m$, et on repart dans le sens décroissant jusqu'à $1$, ça a l'air un poil plus compliqué mais rassurez vous vous allez très vite comprendre avec les exemples : 

exemples : $111 \times 11111$, on a $m=3$ et $n=5$, donc $n-m = 2$, alors le résultat est $1233321$, $1111 \times 1111111 = 1234444321$, etc.

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