Critères de divisibilité : comment sont-ils établis ?

Nous commencerons par rappeler dans cet article les principales règles de divisibilité puis nous nous attacherons à en expliquer le fondement. Enfin nous utiliserons cette théorie que l'on appelle l'arithmétique modulaire pour trouver d'autres critères de divisibilité moins connus.

1) Rappels sur les principales règles de divisibilité

Rappel : on dit qu'un nombre $a$ est divisible par un nombre $b$ si la division euclidienne de $a$ par $b$ a pour reste 0. Autrement dit si l'on tape à la calculatrice la division et que le résultat est un nombre entier (sans virgule). Les critères de divisibilité sont très pratiques lorsqu'il s'agit de simplifier une fraction.
Voici un tableau résumant les règles de divisibilité les plus courantes : 

Nombre Critère de divisibilité Exemple Contre-exemple
2 Le nombre est pair (finissant par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$).  $12$ : finit par $2$  ⇒ $\surd$       $25$ : ne finit pas par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ ⇒ X
3 La somme des chiffres du nombre est un multiple de $3$. $129$ : $1+2+9=12$ qui est un multiple de $3$ ⇒ $\surd$ $235$ : $2+3+5 = 10$ qui n'est pas un multiple de 3 ⇒ X
4 Le nombre de départ est pair et une fois divisé par $2$, le nombre obtenu est encore pair. $108$ : pair, $108/2=54$ qui est aussi pair ⇒ $\surd$ $54$ : pair, $54/2=27$ qui n'est pas pair ⇒ X
5 Le nombre termine par $0$ ou $5$. $215$ : termine par $5$ ⇒ $\surd$ $198$ : ne termine pas par $0$ ou $5$ ⇒ X
6 Le nombre est pair ainsi que divisible par $3$. (Voir critère pour $3$) $330$ : pair, $3+3+0=6$ qui est un multiple de $3$ ⇒ $\surd$  $123$ : $1+2+3=6$ donc divisible par trois mais impair ⇒ X
7 Pas de règle évidente. ----------- -------------
8 Il est possible de diviser le nombre trois fois consécutivement par $2$. $416$ : pair, $416/2=208$ pair, $208/2=104$ et $104$ divisible par $2$ ⇒ $\surd$ $92$ : pair, $92/2=46$ pair, $46/2=23$ impair ⇒ X
9 La somme des chiffres du nombre est un multiple de $9$.  $198$ : $1+9+8=18$ qui est un multiple de $9$ ⇒ $\surd$ $139$ : $1+3+9=13$ qui n'est pas un multiple de $9$ ⇒ X
10 Le nombre termine par $0$. $220$ : termine par $0$ ⇒ $\surd$ $327$ : ne se termine pas par $0$ ⇒ X

 

2) Comment ces règles sont-elles établies ?

Pour retrouver les régles énoncées dans ce tableau on va utiliser de l'arithmétique modulaire à très faible dose. Qu'est ce que c'est ce nom compliqué ? Etablir les critères de divisibilité va donc être dur? Ne vous inquiétez pas : le mot "arithmétique" signifie juste que nous ne travaillerons que sur des nombres, pas de $x$ ou autres lettres! Et le mot "modulaire" veut dire que nous allons utiliser l'opération modulo dont nous utiliserons le symbole $\%$ provenant du langage informatique. C'est cette opération que nous utilisons dans notre formule pour calculer à quel jour de la semaine correspond n'importe quelle date, vous vous rappelez ? Si vous n'avez pas lu cette article je vous invite à le consulter : Trouver le jour de la semaine correspondant à une date grâce au calcul mental.

L'opération modulo, que je noterai donc $\%$, entre deux nombres $a$ et $b$ renvoie le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. On peut donner quelques exemples : $ 10 \% 7 = 3$ car $10 = 7 \times 1 + 3$,   $22 \% 9 = 4$ car  $22 = 9 \times 2 + 4$,   $39 \% 6 = 3$ car $39 = 6 \times 6 + 3$. En gros pour la dernière opération $39 \% 6$ par exemple, on prend $39$ et on regarde le multiple de $6$ le plus proche de $39$ (et de préférence inférieur) : ici on prend $36$ qui est $6 \times 6$, et la différence entre $36$ et $39$ est $3$. Toutefois si l'on se rapporte au multiple supérieur et pas inférieur, ici le multiple de $6$ le plus proche (supérieur) de $39$ est $42 = 6 \times 7$, on compte encore la différence entre $39$ et $42$, mais on met cette fois si un signe devant le résultat : $-3$. On a donc finalement $39 \% 6= 3 = -3$, ceci est cohérent au sens de l'arithmétique modulaire car la différence entre $3$ et $-3$ est $6$. On aurait aussi $ 47 \% 5 = 2 = -3$ (différence entre $2$ et $-3$ : $5$).

Si vous avez des soucis pour comprendre l'opération modulo n'hésitez pas à me contacter, c'est pas si évident. Mais une fois que l'on a comprit on peut aisément suivre le reste de l'article.

Qu'est ce que l'opération modulo a à faire avec la divisibilité ? Réfléchissons un peu... Je vous ai dit en début d'article qu'un nombre $a$ est divisible par un nombre $b$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. Cela ne vous rappelle rien ? Le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ c'est la définition de $a \% b$ ! Alors pour que $a$ soit divisible par $b$ il suffit que $a \% b = 0$. C'est précisément cette règle que l'on va utiliser pour établir nos critères de divisibilité! 

On utilise aussi le fait que l'on peut décomposer n'importe quel nombre $a$ comme $a_0 + 10 \times a_1 + 100 \times a_2 + ...$  . Par exemple $153 = 3 + 10 \times 5 + 100 \times 1$, donc $a_0=3$, $a_1=5$, $a_2=1$. C'est ce qu'on appelle la décomposition en base $10$. En gros $a_0$ est le premier chiffre du nombre en partant de la droite, $a_1$ le deuxième, $a_2$ le troisème, etc. Par exemple pour $9841$ : $a_0=1$, $a_1=4$, $a_2=8$, $a_3=9$.

On peut alors écrire que $a \% b = 0$ est équivalent à (on ne s'occupe que des nombre à $3$ chiffres ou moins donc pas de $a_3$ ou plus)

$$(a_0 + 10 a_1 + 100 a_2) \% b = 0$$

Or l'opération $\% b$ s'applique à tous les termes à l'intérieur des parenthèses :

$$ a_0 \% b + (10 a_1) \% b + (100 a_2) \%b = 0 $$

que l'on peut réecrire

$$ a_0 \% b + (10 \% b) \times (a_1 \% b) + (100 \% b) \times (a_2 \% b) = 0$$

C'est la formule finale que nous allons utiliser de suite pour retrouver les critères de divisibilité.

 

Divisibilité par 2

 

$$a_0 \% 2 + \underbrace{(10 \% 2)}_\textrm{= 0} \times (a_1 \% 2) + \underbrace{(100 \% 2)}_\textrm{= 0} \times (a_2 \%2) = 0 $$

donc notre formule devient :

$$ a_0 \% 2 = 0$$

$a_0$ étant le dernier chiffre du nombre $a$ cela veut dire que pour que ce dernier soit divisible par $2$ il faut que le chiffre $a_0$ soit un multiple de $2$ : c'est à dire $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. Peu importe les chiffres des dizaines et des centaines.

 

Divisibilité par 3

 

$$ a_0 \%3 + \underbrace{(10 \% 3)}_\textrm{= 1} \times ( a_1 \% 3) + \underbrace{(100 \% 3)}_\textrm{= 1} \times (a_2 \% 3) = 0$$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 3 + a_1 \% 3 + a_2 \% 3 = 0$$

que l'on peut factoriser par $ \% 3$ :

$$ (a_0 + a_1 + a_2) \% 3 = 0 $$

Cela signifie que si l'on veut savoir si un nombre est divisible par $3$ ou non, il suffit de faire la somme de ses chiffres, et regarder si le résultat est divisible par $3$.

 

Divisibilité par 4

 

$$ a_0 \% 4 + \underbrace{(10 \% 4)}_\textrm{= 2} \times (a_1 \% 4) + \underbrace{(100 \% 4)}_\textrm{= 0} \times (a_2 \% 4) = 0 $$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 4 + 2 \times (a_1 \% 4) = 0 $$

ce qui donne après factorisation :

$$ (a_0 + 2 a_1) \% 4 = 0 $$

Ce qui veut dire que pour savoir si un nombre est divisible par $4$ ou non, il faut additionner le dernier chiffre et le double de l'avant dernier, et regarder si le résultat est divisible par $4$. 

Remarque : on ne fait pas attention au chiffre des centaines.

Exemples : $234$ → $4 + 2 \times 3 = 10$ qui n'est pas divisible par $4$ donc $234$ n'est pas divisible par $4$.

                   $492$ → $2 + 9 \times 2 = 20$ qui est divisible par $4$ donc $492$ est divisible par $4$.

Cette technique est moins connue et légèrement plus longue que celle présentée dans le tableau au début de l'article. C'est pour ça qu'elle n'est pas mentionnée dans ce dernier. Les exemples précédents avec la méthode du tableau donne : 

Exemples : $234$ →  pair, $234/2=117$ impair donc $234$ n'est pas divisible par $4$.

                   $492$ → pair, $492/2=246$ pair donc $492$ est divisible par $4$.

A noter qu'avec cette technique nous n'avons également pas besoin de regarder les centaines, et faire le test seulement sur les deux derniers chiffres, ce qui accélère le test.

 

Divisibilité par 5

 

$$ a_0 \% 5 + \underbrace{(10 \% 5)}_\textrm{= 0} \times (a_1 \% 5) + \underbrace{(100 \% 5)}_\textrm{= 0} \times (a_2 \% 5 ) = 0 $$

, l'équation devient alors

$$ a_0 \% 5 = 0$$

Pour savoir si un nombre est divisible par $5$ il suffit donc de regarder si son dernier chiffre est divisible par $5$, les deux seules possibilités sont donc $0$ et $5$.

 

Divisibilité par 6

 

$$ a_0 \% 6 + \underbrace{(10 \% 6)}_\textrm{= 4} \times (a_1 \%6) + \underbrace{(100 \% 6)}_\textrm{= 4} \times (a_2 \% 6) = 0 $$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 6 + 4 \times (a_1 \% 6) + 4 \times (a_2 \% 6) = 0 $$

une fois factorisée la formule devient 

$$ \left[ a_0 + 4 \times (a_1 +  a_2) \right] \% 6 = 0 $$

La méthode est donc d'additionner les nombres des dizaines et des centaines, de multiplier par $4$ ce résultat et d'y ajouter le nombre des unités. Si le nombre obtenu est divisible par $6$ alors le nombre initial l'est aussi.

Exemples : $246$ → $(2+4) \times 4 + 6 = 30$ qui est divisible par $6$ donc $246$ est également divisible par $6$.

                 $598$ → $(5+9) \times 4 + 8 = 64$ qui n'est pas divisible par $6$ donc $598$ ne l'est pas non plus.

Toutefois cette formule est un peu compliquée et il est plus évident d'utiliser la méthode du tableau : regarder si le nombre est pair puis divisible par $3$.

Exemples : $246$ → pair, $2+4+6 = 12$ qui est divisible par $3$, donc $246$ est pair et divisible par $3$, il est donc divisible par $6$.

                 $598$ → pair, $5+9+8 = 22$ qui n'est pas divisible par $3$, donc $598$ n'est pas divisible par $6$.

 

Divisibilité par 7

 

Nous allons établir ici le tant attendu critère de divisibilité par $7$.

$$ a_0 \% 7 + \underbrace{(10 \% 7)}_\textrm{= 3} \times (a_1 \%7) + \underbrace{(100 \% 7)}_\textrm{= 2} \times (a_2 \% 7) = 0 $$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 7 + 3 \times (a_1 \% 7) + 2 \times (a_2 \% 7) = 0 $$

en factorisant par $ \% 7$ cela devient 

$$ (a_0 + 3 a_1 + 2 a_2) \% 7 = 0 $$

Pour savoir si un nombre est divisible par $7$ ou non on ajoute donc le nombre des unités avec 3 fois celui des dizaines et 2 fois celui des centaines. On regarde ensuite si le résultat est divisible par $7$.

Exemples : $154$ → $4 + 3 \times 5 + 2 \times 1 = 21$ qui est divisible par $7$ : $154$ est divisible par $7$.

                 $235$ → $5 + 3 \times 3 + 2 \times 2 = 18$ qui n'est pas divisible par $7$ donc $235$ n'est pas divisible par $7$.

Autre technique (démonstration plus difficile mais technique plus efficace ) → pour l'obtenir on décompose le nombre $a$ différement : $a = 10 \times a_1 + a_0 $ , seulement cette fois ci $a_1$ représente le nombre de dizaine et n'est pas seulement le chiffre des dizaines : pour $541$, $a_1 = 54$ et $ a_0 = 1$. Soit $b = a_1 - 2 a_0 $ autre nombre qui n'a apriori aucun rapport avec $a$. Démontrons que si $b$ est divisible par $7$, alors $a$ est également divisible par $7$. 

$$ 10 b + 21 a_0 = 10 \times (a_1 - 2 a_0) + 21 a_0 = 10 a_1 -20 a_0 + 21 a_0 = 10 a_1 + a_0 = a $$

On a donc $a = 10 b + 21 a_0$ 

Si on applique un $\% 7$ de chaque côté de l'équation on obtient :

$$ a \% 7 = \underbrace{(10 \% 7)}_\textrm{= 3} \times (b \% 7) + \underbrace{(21 \% 7)}_\textrm{= 0} \times (a_0 \% 7) $$

$$ \Longrightarrow a \% 7 = 3 \times (b \% 7) $$

Donc si $b$ est divisible par $7$ (c'est à dire $b \% 7 = 0$) alors $a \% 7 = 0$ et $a$ est également divisible par $7$.

Ceci est pratique car calculer $b \% 7$ est assez rapide. Rappelons que $ b = a_1 - 2 a_0$. Autrement pour savoir si notre nombre est divisible par $7$ il suffit de retrancher 2 fois le chiffre des unités au nombre de dizaines et voir si le résultat est divisible par $7$.

Exemples : $154$ → $15 - 2 \times 4 = 7$ qui est divisible par $7$, donc $154$ est divisible par $7$.

                 $235$ → $23 - 2 \times 5 = 13$ qui n'est pas divisible par $7$, donc $235$ n'est pas divisible par $7$ non plus.

 

Divisibilité par 8

 

$$ a_0 \% 8 + \underbrace{(10 \% 8)}_\textrm{= 2} \times (a_1 \%8) + \underbrace{(100 \% 8)}_\textrm{= 4} \times (a_2 \% 8) = 0 $$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 8 + 2 \times (a_1 \% 8) + 4 \times (a_2 \% 8) = 0 $$

, on factorise :

$$ (a_0 + 2 a_1 + 4 a_2) \% 8 = 0 $$

On ajoute le chiffre des unités, 2 fois le chiffre des dizaines et 4 fois le chiffre des centaines. Si le résultat est divisible par $8$ alors le nombre initial est également divisible par $8$.

Exemples : $452$ → $2 + 2 \times 5 + 4 \times 4 = 28$ qui n'est pas divisible par $8$, donc $452$ n'est pas divisible par $8$.

                $784$ → $4 + 2 \times 8 + 7 \times 4 = 48$ qui est divisible par $8$, ce qui veut dire que $784$ est divisble par $8$.

La méthode présentée dans le tableau est un peu plus longue que celle ci puisque diviser par 2 de grands nombres plusieurs fois peut prendre un peu de temps. 

 

Divisibilité par 9

 

$$ a_0 \% 9 + \underbrace{(10 \% 9)}_\textrm{= 1} \times ( a_1 \% 9) + \underbrace{(100 \% 9)}_\textrm{= 1} \times (a_2 \% 9) = 0$$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 9 + a_1 \% 9 + a_2 \% 9 = 0$$

que l'on peut factoriser par $ \% 9$ :

$$ (a_0 + a_1 + a_2) \% 9 = 0 $$

Pour savoir si un nombre est divisible par $9$ il faut simplement additonner tous les chiffres et regarder si le resultat est divisible par $9$. 

Exemples : $452$ → $4+5+2 = 11$ qui n'est pas divisible par $9$, donc $452$ n'est pas divisible par $9$.

                 $666$ → $6+6+6 = 18$ qui est divisible par $9$, donc $666$ est divisible par $9$.

 

Divisibilité par 10

 

$$a_0 \% 10 + \underbrace{(10 \% 10)}_\textrm{= 0} \times (a_1 \% 10) + \underbrace{(100 \% 10)}_\textrm{= 0} \times (a_2 \%10) = 0 $$

et notre formule devient :

$$ a_0 \% 10 = 0$$

Pour savoir si un nombre est divisible par $10$ il suffit ainsi de regarder si le dernier chiffre est divisible par $10$, la seule option étant que le chiffre soit un $0$.

 

Divisibilité par 11

 

$$ a_0 \% 11 + (10 \% 11) \times (a_1 \% 11) + (100 \% 11 ) \times (a_2 \% 11) = 0 $$

et $10 \% 11 = 10$ mais également $10 \% 11 = -1$, c'est cette valeur que l'on va prendre; et $ 100 \% 11 = 1$.

$$ a_0 \% 11 - a_1 \% 11 + a_2 \% 11 = 0 $$

qui une fois factorisé donne

$$ (a_0 - a_1 + a_2) \% 11 = 0 $$

La méthode est donc de prendre le chiffre des unités, lui enlever le chiffre des dizaines et rajouter le chiffre des centaines. Si le résultat est divisible par $11$ alors le nombre initial est divisible par $11$.

Exemples : $407$ → $4 - 0 + 7 = 11$ qui est divisible par $11$ : $407$ est donc divisible par $11$.

                 $254$ → $2 - 5 + 4 = 1$ qui n'est pas divisible par $11$ ce qui veut dire que $254$ n'est pas divisible par $11$.

 

Divisibilité par 12

 

$$ a_0 \% 12 + \underbrace{(10 \% 12)}_\textrm{= -2} \times (a_1 \% 12) + \underbrace{(100 \% 12)}_\textrm{= 4} \times (a_2 \% 12) = 0 $$

$$ \Longrightarrow a_0 \% 12 - 2 \times (a_1 \% 12) + 4 \times (a_2 \% 12) = 0 $$

une fois factorisée la formule devient 

$$ \left[ a_0 - 2 \times a_1 +  4 \times a_2 \right] \% 12 = 0 $$

Pour savoir si un nombre est divisible par 12 ou non on additionne le chiffre des unités et 4 fois celui des centaines et on enlève au résultat 2 fois le chiffre des dizaines.

Exemples : $216$ → $6 + 4 \times 2 - 2 \times 1 = 12$ qui est divisible par $12$, donc $216$ est divisible par $12$.

                 $346$ → $6 + 4 \times 3 - 2 \times 4 = 10$ qui n'est pas divisible par $12$ alors $346$ n'est pas divisible par $12$.

Conclusion

Nous avons ainsi établi des critères de divisibilité par tous les nombres de $2$ à $12$ en utilisant le calcul modulaire. Les calculs sont assez directs et ont une grande utlité. Nous aurions pu continuer indéfiniment, effectivement avec cette méthode nous pourrions très bien définir une règle de divisibilité par $734$ par exemple, bien que cela soit peu utile. Nous aurions également pu établir ces règles pour les nombres à $4$ chiffres ou plus moyennant en contrepartie un tout petit peu plus de travail.

 

                

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