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Critères de divisibilité : comment sont-ils établis ?

Nous commencerons par rappeler dans cet article les principales règles de divisibilité puis nous nous attacherons à en expliquer le fondement. Enfin nous utiliserons cette théorie que l'on appelle l'arithmétique modulaire pour trouver d'autres critères de divisibilité moins connus.

1) Rappels sur les principales règles de divisibilité

Rappel : on dit qu'un nombre $a$ est divisible par un nombre $b$ si la division euclidienne de $a$ par $b$ a pour reste 0. Autrement dit si l'on tape à la calculatrice la division et que le résultat est un nombre entier (sans virgule). Les critères de divisibilité sont très pratiques lorsqu'il s'agit de simplifier une fraction.
Voici un tableau résumant les règles de divisibilité les plus courantes : 

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Quelques techniques de calcul mental assez pratiques

Quelques techniques de calcul mental assez pratiques

Bonjour à tous, je vais vous livrer ici quelques unes des techniques de calcul mental utiles que j'utilise régulièrement : 

1) Trouver le carré d'un nombre finissant par $5$ en moins de 3 secondes :

Combien fait $45^2$ ? Vous pensez probablement que c'est compliqué à calculer mais cela ne l'est absolument pas. Je vous explique la technique : Si on a un nombre du type $n 5$ ( par exemple pour $45$, $n = 4$), le carré de ce nombre est donné par la formule suivante :

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Trouver le jour de la semaine correspondant à une date grâce au calcul mental

Calcul du jour de la semaine :

1) La technique

Vous avez déjà été bluffé par un autiste où autre surdoué qui à la télévision arrivait à trouver le jour de la semaine sur lequel tombait n'importe quelle date en très peu de temps ? En réalité il n'est pas si difficile de réaliser cet « exploit », il suffit de s'entraîner un petit peu en calcul mental et appliquer un algorithme qu'un ami et moi avons inventé. Même si il semble long en apparence, il s'applique assez rapidement avec l'habitude (dans cet algorithme le signe $ \% $ qui se lit « modulo » est une opération qui renvoie le reste de la division euclidienne par un certain nombre, ici en l'occurence $7$, par exemple $10 \% 7=3$ car $10= 7 \times 1 +3$ ou $26 \% 7=5$ car $26= 7 \times 3 +5$) :

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